Seno Coseno e Tangente – il Calcolo

Ok , oggi vedremo insieme il calcolo delle funzioni Seno , Coseno e Tangente ; in particolare , capiremo meglio come ricavare il valore di tali funzioni osservando semplicemente il valore dell’angolo che si presenta sulla circonferenza goniometrica , riuscendo a determinare così la corrispondente funzione Seno , Coseno oppure Tangente , che si genera , per così dire , a partire dal corrispondente angolo che troveremo sulla circonferenza goniometrica. Bene , iniziamo 😉

Individuare il valore del Seno , del Coseno e della Tangente

Cominciamo a vedere alcuni esempi , considerando un pò di angoli che possiamo trovare sulla circonferenza goniometrica . Iniziamo allora con un angolo che vale 30 gradi ossia che vale π / 6 ossia 180 gradi / 6 .

Prendiamo quindi la nostra circonferenza goniometrica e , rappresentiamo su di essa l’angolo di 30 gradi .

Angolo di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Come facciamo adesso a capire quanto valgono le relative funzioni Seno Coseno e Tangente ? Semplice , basta misurare il corrispondente segmento che rappresenta ogni funzione generata dal nostro angolo , facendo attenzione anche al segno da attribuire al risultato , concetto che capiremo meglio più avanti nell’articolo .

Ricavare il valore della funzione Seno

Ok , partiamo dal Seno , ricordandoci che il Seno è la misura del segmento relativo all’asse delle y ; otteniamo quindi il suo valore misurando tale segmento .

Seno di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Nel nostro esempio , per l’angolo di 30 gradi , osserviamo che predetto segmento vale la metà del raggio unitario della circonferenza ossia 0,5 , meglio indicato con il valore frazionario 1/2 .

Seno di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Ricavare il valore della funzione Coseno

Il Coseno invece ? Quanto vale ? Ricordandoci che il Coseno è la misura del segmento relativo all’asse delle x , otteniamo il suo valore , misurando pure tale segmento .

Coseno di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Osserveremo allora che per l’angolo di 30 gradi , la misura ossia il risultato è di circa 0,86 , tradotto meglio in termini frazionari , il risultato corrisponde al valore √3/2 , perchè √3/2 è uguale proprio a 0,86 circa.

Coseno di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Ricavare il valore della funzione Tangente

Passiamo alla Tangente , vediamo quanto vale per il nostro angolo di 30 gradi . Stesso concetto , dobbiamo misurare il relativo segmento che corrisponde alla tangente di 30 gradi ; per capire meglio , disegniamo prima la Tangente del nostro angolo , ricordando che , la Tangente , è ricavata dalla retta passante per il punto (1,0) della circonferenza goniometrica .

Tangente di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Quindi prolunghiamo il secondo segmento che identifica l’angolo di 30 gradi ricavando così il punto intersezione sulla retta tangente che chiameremo ad esempio “t” .

Tangente di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Fatto ciò , possiamo sapere quanto vale la Tangente del nostro angolo di 30 gradi , misurando il segmento che parte dall’asse delle x e va a finire nel nostro punto “t” . La sua misura corrisponde quindi al valore di circa 0,57 che , in termini frazionari si traduce come 1/√3 o anche √3/3 .

Tangente di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica
Tangente di 30 gradi sulla circonferenza goniometrica

Alcuni esempi sul calcolo della funzione Seno

Ok , fissiamo adesso bene il concetto facendo altri esempi . Allora… Seno di 45 gradi : misura del relativo segmento , che è uguale circa a 0,707 ossia è uguale ad 1/√2 .

Seno di 45 gradi sulla circonferenza goniometrica

Seno di 135 gradi : misura del relativo segmento e , scopriamo che , anch’esso è uguale a circa 0,707 ossia è uguale ad 1/√2 .

Seno di 135 gradi sulla circonferenza goniometrica

Osserviamo infatti sulla circonferenza goniometrica che , per l’angolo di 135 gradi , il segmento relativo è lo stesso di quello generato dall’angolo di 45 gradi.

Seno di 45 gradi sulla circonferenza goniometrica

Seno di 225 gradi : individuiamo quindi il relativo segmento scoprendo che , la sua misura è uguale a quanto ? A -0,707 ossia a -1/√2 .

Seno di 225 gradi sulla circonferenza goniometrica

Perchè il segno “-” ? Perchè tutti i segmenti , relativi all’asse y misurati al di sotto dell’asse x , attenzione , vanno considerati con il valore negativo , anche perchè a livello intuitivo , si capisce che partendo dal valore 0 ed andando verso l’alto avremo valori positivi , viceversa , partendo dal valore 0 ed andando verso il basso , avremo valori negativi . Stesso discorso anche per le misure relative ai segmenti generati sull’asse delle x .

Segni circonferenza goniometrica
Segni circonferenza goniometrica

Alcuni esempi sul calcolo della funzione Coseno

Quanto vale il Coseno di 240 gradi ? Considerando il segmento relativo e misurandolo , ricaviamo il valore di -0,5 ossia -1/2 ; Ancora il segno “-” perchè tutti i segmenti , relativi all’asse delle x , misurati a sinistra dell’asse delle y , vanno considerati con il valore negativo poichè , i valori a destra dello 0 vengono considerati normalmente positivi .

Coseno di 240 gradi sulla circonferenza goniometrica
Coseno di 240 gradi sulla circonferenza goniometrica

Coseno di 60 gradi : ricaviamo il segmento ottenendo come misura questa volta un valore positivo , ossia 0,5 meglio indicato con il valore frazionario di 1/2 .

Coseno di 60 gradi sulla circonferenza goniometrica

Alcuni esempi sul calcolo della funzione Tangente

Bene facciamo qualche esempio sulla Tangente per concludere . Tangente di 60 gradi : ricaviamo il corrispondente segmento , misuriamolo ottenendo il valore di circa 1,732 tradotto meglio con il valore √3 .

Tangente di 60 gradi sulla circonferenza goniometrica

Tangente di 135 gradi : stesso concetto , ricaviamo il segmento , riferito al punto intersezione che si crea sulla tangente , misuriamolo ottenendo il valore -1 .

Tangente di 135 gradi sulla circonferenza goniometrica

Conclusioni

Ecco, concludendo , ci rendiamo un pochettino conto come , osservando i relativi angoli sulla circonferenza goniometrica , sia facile determinare graficamente , il valore delle funzioni Seno Coseno e Tangente , misurando semplicemente i relativi segmenti che vengono prodotti dai relativi angoli .

Seno coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica

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